Исследование методом операционного исчисления влияния вращения Земли на свободное падение тел

Исследуем свободное падение материальной точки вблизи земной поверхности. Свяжем систему координат с положением тела, где ось z направлена по вертикали вверх, ось x – по касательной к окружности радиуса h (перпендикулярно к плоскости рисунка на нас), а ось y – в плоскости меридиана (в плоскости рисунка). Направление линии действия силы тяжести Р называется вертикальным направлением в данной точке земной поверхности. Угол , образуемый вертикальным направлением с экваториальной плоскостью, называется географической широтой в данной точке земной поверхности.

Будем рассматривать свободное падение тела вблизи поверхности Земли, поэтому считаем, что сила тяжести  и широта  постоянны.

Система уравнений, спроецированных на оси координат, при начальных условиях имеет вид [3]:

где  

В [1] рассматривается решение данной системы с помощью степенных рядов.

В данной работе делается попытка решения этой задачи методом операционного исчисления [4; 5; 2].

Перейдем к изображениям:

Применим преобразование Лапласа к каждому из уравнений системы:

Для нахождения изображений неизвестных функций , Y(р) и Z(p) решим систему следующих операторных уравнений:

По правилу Крамера имеем:

Следовательно, изображения имеют вид:

Таким образом, получены следующие уравнения движения:

Разложив полученные уравнения в ряд по  имеем:

При  система примет вид:

что согласуется с решением, полученным в [1].

Таким образом, траектория свободно падающего тела лежит в плоскости, перпендикулярной меридиану. Первое уравнение полученной системы указывает на отклонение тела от вертикали в сторону отрицательного отчета координаты х, т.е. с запада на восток.

Оценим отклонение материальной точки от осей координат на широте Нижнего Тагила, т.е. при  g=9,81 м /сек², при падении с высоты 12000 метров.

Имеем:

Таким образом, при свободном падении с высоты h=12000 м на широте Нижнего Тагила материальная точка отклонится в восточном направлении на 15,09 м.