СТАНДАРТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В ходе решения определённых математических задач мы сталкиваемся с логарифмами. Важно знать правила действий с ними, понимать их и научиться применять на практике. Также на практике нам нередко встречаются логарифмические уравнения. Поэтому следует научиться применять методы решения данных уравнений.

История изучения логарифмов подчеркивает неразрывную связь отдельных областей математики – алгебры, геометрии, математического анализа. Логарифм стал великим открытием, значимым для математики и дал толчок развитию математического образования.

Тема актуальна тем, что задания содержащие логарифмы встречаются в 10 – 11 классах общеобразовательных школ. Глава, в которой изучают логарифмические уравнения и неравенства, это одна из самых важнейших глав в курсе алгебры. Много заданий по данной теме встречаются в тестах ЕГЭ [2, c. 24].

Научиться решать логарифмические уравнения и неравенства должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично» для сдачи ЕГЭ. Данной теме в вариантах ЕГЭ по математике посвящены задания под номер 13 и 15. Если не знать определения понятий «Логарифм», «Логарифмическое уравнение», не знать свойств логарифма и методов решения логарифмических уравнений, ученик не сможет решить и простейшее уравнение. Для этого рассмотрим в данной статье методы решения логарифмических уравнений [5, c. 49].

В учебниках по математике теме логарифмические уравнения уделяется разное место.

В учебнике А. Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа, 10-11 класс.[1].

Глава5. Показательная и логарифмическая функции.

§10. Показательная и логарифмическая функции.

§39. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

В учебнике С. М. Никольского тема «Логарифмические уравнения» приведена в 6 главе и содержит следующие темы.

§6. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

6.1.Простейшие логарифмические уравнения.

6.2.Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

6.3.Простейшие логарифмические неравенства.

6.4.Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного.

В учебнике А. Г. Мордковича тема «Логарифмические уравнения»  выделена отдельным пунктом: свойства логарифмов; логарифмические уравнения; логарифмические неравенства; переход к новому основанию логарифма; дифференцирование показательной и логарифмической функций.

Приведём определение понятий логарифм, логарифмическое уравнение.

Логарифмом положительного числа b по основанию а (а > 0, a ≠1)  называется показатель степени с, в которую надо возвести число а, чтобы получить число b.

Логарифмическим называется уравнение, в котором неизвестное входит под знак логарифма.

Основные методы решения логарифмических уравнений: применение определения логарифма, метод потенцирования, метод введения новой переменной, переход к новому основанию, метод логарифмирования [1, c. 127].

Рассмотрим каждый метод.

1. Применение определения логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида .

  х = .

Пример 1. 

Применяя определение логарифма, получается 2х  4 = .

Отсюда 2х  4 = 16, х = 10.

2. Метод потенцирования.

Потенцирование, то есть переход от логарифма данного выражения к самому выражению. Решение логарифмического уравнения данным методом состоит из пяти шагов.

1 шаг. Определить ОДЗ уравнения (по определению логарифма)

2 шаг. Пропотенцировать обе части уравнения по основанию равному основанию логарифма.

3 шаг. Составить равенство подлогарифмических выражений, применив свойства логарифма.

4 шаг. Решить уравнение и проверить полученные корни по ОДЗ.

5 шаг. Записать в ответ полученные корни, удовлетворяющие ОДЗ [3, c. 89].

Пример 2. 

ОДЗ: 3х  х >  .

Потенцируем исходное уравнение, получаем уравнение 3х

Решаем его и получаем х = 1. Это решение подходит ОДЗ, следовательно, данное уравнение имеет корень х = 1.

3. Метод введения новой переменной.

Распространенным методом решения уравнений служит замена переменных (метод подстановки). Чаще всего этот метод используется, когда уравнение или неравенство является квадратным относительно функции, содержащей искомую переменную.

Рассмотрим алгоритм решения логарифмического уравнения данным методом.

1 шаг. Определить ОДЗ уравнения.

2 шаг. Ввести новую переменную.

3 шаг. Решить полученное уравнение.

4 шаг. Составить простейшие логарифмические уравнения, возвращаясь к первоначальной переменной.

5 шаг. Проверить полученные корни по ОДЗ и записать ответ.

Пример 3. 

ОДЗ: x > 0.

Пусть , тогда уравнение примет вид 4t + 4 = 0. D = 0,  = 2.

Вернёмся к замене  Решив простейшее логарифмическое уравнение, получим х = 4. Данный корень удовлетворяет ОДЗ.

4. Переход к новому основанию.

Данным метод используют для решения уравнений с логарифмами различных оснований. В таких случаях удобно применять формулы перехода от одного основания к другому.  Если а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1, то верно равенство .

Для решения таких уравнений первым шагом нужно найти ОДЗ. Далее применяем формулу перехода к новому основанию и решаем полученное уравнение.

Пример 4. 

ОДЗ: х > 0.

Применим формулу перехода к новому основанию 2: ;

2

х = 16.

5. Метод логарифмирования.

Метод логарифмирования заключается в том, что обе части равенства или неравенства, если они положительные, можно прологарифмировать по одному основанию.

Чтобы решить логарифмическое уравнение данным методом нужно при решении применить следующие шаги.

1 шаг. Определить ОДЗ уравнения.

2 шаг. Прологарифмировать обе части уравнения по основанию логарифма в показателе степени.

3 шаг. Вынести показатель степени за знак логарифма, пользуясь свойством логарифма.

4 шаг. Решить полученное уравнение методом замены переменной.

5 шаг. Записать ответ, удовлетворяющий ОДЗ [2, c. 67].

Пример 5. = 27

ОДЗ: 

Прологарифмируем обе части по основанию 3:

 = ;

⸳ 

Пусть , (t2)⸳t = 3;

 ;

 = 3,  = -1.

Вернёмся к обозначенному:

         ;

= 27.               = .

Оба значения принадлежат ОДЗ.

Рассмотренные и разобранные на конкретных примерах методы решения логарифмических уравнений позволяют существенно упростить, а в некоторых случаях ускорить процесс нахождения решений. Данный материал может быть использован учениками для повторения и систематизации знаний по обозначенной теме.