Оценка качества моделирования исходных графиков электрических нагрузок распределительных сетей

В статье приводятся обоснования использования обобщённых (ортогональных) графиков электрических нагрузок (ОГН), полученных на факторном пространстве признаков методом главных компонент [1–3] по данным статистически представительной выборки графиков нагрузок узлов районной электроэнергетической системы, для моделирования нагрузок, не входящих в указанную совокупность.

Получение ОГН и их свойства. Для матрицы корреляционных моментов (МКМ) центрированных значений мощностей вычисляются М собственных векторов в порядке убывания модулей собственных значений. Решение проблемы собственных значений выполнено для реальной статистически представительной совокупности суточных графиков нагрузки (объём от 48 до 100) в компьютерных программных комплексах (MATLAB, MATHEMATICA и др.), в частности с использованием эффективного итерационного метода, позволяющего получить устойчивый результат с контролируемой точностью. В результате отыскиваются значения первопричин – факторов, отражающих имеющуюся связь между исходными признаками – анализируемыми графиками нагрузок и соответствующими собственными векторами МКМ, малое количество которых используется в дальнейшем вместо признаков. Каждому из собственных векторов соответствует фактор – ОГН, являющийся линейной комбинацией исходных графиков  , центрированных относительно своих математических ожиданий MP_i,, MQ_i

где ,  – компоненты собственного вектора  2n-мерной МКМ;

Также как и собственные векторы, ОГН являются ортогональными (статистически независимыми), некоррелированными (несвязанными) статистическими величинами, отражающие общие закономерности,  основные свойства изменения конфигурации электрических нагрузок. Выделенные факторные модели обладают свойством универсальности придают моделям, статистическому методу и в целом процессу моделирования множества режимов (многорежимности) свойства линейности и аддитивности и позволяют с достаточной точностью восстановить исходные параметры изменения нагрузок на интервале времени. В качестве примера на рисунке представлены ОГН, соответствующие первым трём максимальным собственным числам и собственным векторам МКМ, полученной для совокупности 48 исходных суточных графиков одной из энергосистем [4]. Первые три ОГН отражают около 80 % полной дисперсии исходных графиков нагрузок.

Рисунок 1. Суточные ОГН с количеством интервалов постоянства d = 12

Восстановление исходных графиков нагрузки с помощью ОГН. Метод является эффективным, поскольку обратные преобразования в признаковое пространство позволяют использовать небольшое число М<< 2n главных факторов – ОГН с целью моделирования исходных изменений нагрузок. В этом случае исходные графики P_i, Q_i  восстанавливаются с помощью известных математических ожиданий MP_i,, MQ_i и моделируемых отклонений от математических ожиданий в виде линейной комбинации двух-четырёх ОГН:

                                                                                   (2)

где d – количество интервалов осреднения суточного графика нагрузки.

Анализ результатов экспериментальной выборки. Для выборки из 8 схем распределительной сети напряжением 35, 110 кВ с количеством узлов от 2-х до 4-х с электропотреблением, заданным графиками активных и реактивных нагрузок предприятий различных отраслей промышленности [5] составлены МКМ, для которых получены ОГН, соответствующие первым двум собственным векторам. С помощью ОГН восстановлены исходные графики нагрузок и выполнен расчёт потерь ЭЭ в рассматриваемых сетях. Результаты расчёта и сопоставительный анализ качества моделирования представлен далее.

Используемая выборка характеризуется значительной неравномерностью K_НР и малой плотностью (заполненностью) K_З графиков нагрузок (табл. 1). Произведён расчёт средней относительной ошибки

Предоставлена доля вклада при учёте М первыми ОГН

                                                                                                         (3)

                                                                                                        (4)

где λ_k – собственное число.

Также для анализа используется коэффициент корреляции

                                                                                                 (5)

Таблица 1

Оценка качества моделирования графиков

Из результатов расчёта (табл.1) следует, что использование двух собственных значений и соответствующих собственных векторов отражает от 82 до 92 % исходных МКМ. Полученные из МКМ первые два ОГН применительно к каждой схеме моделируют (восстанавливают) исходные графики нагрузок с относительной ошибкой от 0,63 до 7,3%,  отражая до 95,7 % полной дисперсии исходных нагрузок с корреляционной связью  в интервале 0,65-- 0,99 расчётных и эталонных (исходных) параметров.

Расчёт потерь электрической энергии по восстановленным графикам нагрузки. Также для  сопоставления с предыдущими расчётами  в данной выборке схем  выполнено моделирование графиков нагрузок  с помощью трёх обобщённых ОГН (рис. 1), представленных в таблице 2 [4].  Графики электрических нагрузок, исследуемые в данной работе, не входили в обучающую выборку, из которой получены обобщённые ОГН.

Таблица 2.

Суточные типовые обобщённые графики нагрузок

Выполнено сопоставление точности вычисления статистическим методом [1,2,6] потерь ЭЭ (∆Э₂) при моделировании графиков нагрузок данной выборки схем двумя первыми ортогональными  графиками каждой  схем и потерь ЭЭ (ΔЭ_О,) при моделировании изменения нагрузок тремя обобщёнными ОГН (табл.2).

Данные расчётные значения потерь ЭЭ  сопоставлены с эталонными, в качестве которых приняты потери ЭЭ, полученные  непосредственным интегрированием (суммированием) потерь мощности по результатам d расчётов установившихся режимов для нагрузок – интервалов постоянства графиков нагрузок

Сопоставление результатов расчёта представлено в таблице 3.

Таблица 3.

Результаты расчёта потерь ЭЭ

Из представленных результатов (табл.3) относительная ошибка расчёта потерь ЭЭ в исследуемой экспериментальной совокупности, при использовании ОГН, полученных индивидуально для каждой отдельной схемы, находятся в диапазоне (-1,04 %; -0,0488 %). При этом средняя относительная ошибка расчёта ЭЭ, вычисленная с помощью обобщённых ОГН статистически представительной совокупности нагрузок,  существенно не возрастает и находится в интервале (-1,48 %, 1,70 %). Данная погрешность  приемлема  для практических расчётов. 

Выводы

1. Обобщённые ортогональные графики нагрузок, полученные методом главных компонент  из статистически представительного множества графиков электрических нагрузок, являются статистически устойчивыми и могут рассматриваться как типовые, поскольку возможно их применение для восстановления графиков нагрузок, не входящих в обучающее множество исходных признаков, с достаточной для практических расчётов точностью.

2. Для восстановления (моделирования) графиков электрических нагрузок электроэнергетических систем практически без потери точности достаточно использовать от двух до четырёх обобщённых (типовых) ортогональных графиков нагрузок.