ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ MathCAD

В очень широком круге задач, связанных с моделированием окружающего мира, требуются достаточно серьезные знания из различных разделов математики, некоторые из которых принято относить к области высшей математики. Удобным и эффективным средством решения подобных математических задач являются специализированные математические пакеты. Математика является естественной областью приложений информатики и важнейшим звеном, связывающим информатику с другими науками. Пакет MathCAD, в отличие от других математических приложений, построен в соответствии с принципом «Что Вы видите, то и получите». Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать на исполнение. В состав системы MathCAD входят несколько интегрированных компонентов: мощный текстовый редактор, позволяющий вводить и редактировать текст и математические выражения; вычислительный процессор, умеющий проводить расчеты по введенным формулам, используя встроенные численные методы; символьный процессор, являющийся, фактически, системой искусственного интеллекта; огромное хранилище справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в качестве интерактивной электронной книги.

Исследование функций различной степени сложности и построение их графиков является важнейшей задачей математического анализа. В основе изучения поведения функций лежит вычисление производных, пределов, решение уравнений и неравенств, нахождение асимптот, а с подобными операциями MathCAD справляется весьма эффективно. Благодаря графическим возможностям системы можно построить график функции любой сложности — он наглядно отразит особенности ее поведения и значительно упростит проведение исследования.

Поскольку алгоритм исследования функции включает в себя большое количество пунктов, разберем каждый из них по отдельности на примере:

Пример.   

1. При исследовании функции в пакете MathCAD все символьные расчеты необходимо сопоставлять с графиком. Для облегчения поставленной задачи построим в первую очередь график функции. Заметьте, что при проведении исследования на бумаге такой возможности у вас нет.

Рисунок 1. График функции

2. Найдем область определения функции

Из математики нам известно, что совокупность значений х, для которых данная функция определена, называется областью определения этой функции. Так как в выражении функции отсутствуют корни четной степени и знаменатель, то х может принимать любые значения (-∞;∞), поэтому функция определена на всей числовой оси.

3. Область значений функции принадлежит (-∞;∞)

4. Определим, является ли функция четной или нечетной

Функция называется четной, если выполняется условие f(-x)=f(x), и нечетной, если f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси Y, нечетной — начала координат. По графику функции видно, что он несимметричен относительно оси ординат и начала координат, значит, это функция общего вида. Подтвердим это вычислением:

Из полученных выражений видно, что условия четности и нечетности не соблюдаются, значит, это функция общего вида.

5. Определим, является ли функция периодической или непериодической.

Функция называется периодической, если для любого х существует такое действительное число Т, отличное от нуля, что f(x+T)=f(x).

Доказательством периодичности / непериодичности функции является нахождение величины Т из уравнения f(x+T)=f(x). Если Т является действительным числом, функция периодична. В случае непериодичности Т будет являться функцией от х.

При решении уравнения мы получили три значения. По определению Т≠0, остальные же выражения зависят от х, следовательно, функция является непериодической.

6. Точек разрыва функция не имеет, поскольку непрерывна на промежутке (-∞;∞).

7. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

График функции пересекает ось Х в точках (-3;0), (0;0)

График функции пересекает ось Y в точке (0;0)

8. Определим точки экстремума функции.

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума.

               ·     Необходимым условием существования экстремума в точке является равенство нулю или равенство бесконечности производной в данной точке.

               ·          Достаточным условием существования экстремума в точке является смена знака производной при переходе через данную точку:

- если производная меняет знак с плюса на минус, то это максимум

- если производная меняет знак с минуса на плюс, то это минимум

Найдем производную функции f(x)

Приравняем производную нулю и решим уравнение относительно переменной х.

Производная равна нулю при х=-2, при х=-3 и х=0 она обращается в бесконечность. Значит, данные критические точки являются точками экстремума.

Чтобы проверить достаточное условие, найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого решим следующие неравенства:

Во-избежании ошибки при решении неравенств в MathCAD результат следует проверить по графику. С помощью графика мы можем указать корректные промежутки знакопостоянства исследуемой функции: в интервале функция возрастает и в интервале убывает.

При переходе через точку х=-2 производная меняет знак с + на —, значит, в данной точке функция имеет максимум:

При переходе через точку х=0 производная меняет знак с — на +, значит, в данной точке расположен минимум:

При х=-3 экстремума нет, поскольку знак производной сохраняется.

9. Найдем асимптоты графика функции в виде y=kx+b

Получили прямую y(x)=x+1, которая является наклонной асимптотой. Отразим ее на графике исследуемой функции. Видно, что расстояние от асимптоты до точек графика функции неограниченно уменьшается с ростом х.

Рисунок 2. Асимптота графика функции

Большинство этапов исследования в MathCAD нам пришлось проводить, используя классические формулы и определения, что благоприятно сказывается на актуализации математической подготовки.

Список литературы:

1.            Гурский Д. Вычисления в MathCAD. — Мн.: Новое знание, 2003. — 395 с.

2.            Гурский Д., Турбина Е. MathCAD для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — 400 с.

3.            Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в математике, физике и Internet. — М.: Нолидж, 2000. — 512 с.

4.            Кудрявцев Е.М. MathCAD 11: Полное руководство по русской версии. — М.: ДМК Пресс, 2005. — 592 с.