Усилия и моменты в составных конических куполах

Составные конические купола из сборного железобетона встречаются в практике строительства. Примером может служить оболочка, изображенная на рис.1. представляющая систему связанных между собой усеченных многогранных пирамид, которые при расчете заменяются совокупностью конических оболочек [1].

Рисунок 1.Членение оболочки  вращения на сборные элементы

В местах скачкообразного изменения кривизны поверхности возникает изгибное напряженное состояние. Поэтому в сопряжениях конических оболочек должны выявляться узловые изгибающие моменты меридионального направления и горизонтальные распоры.

На рис.2,а. изображена в разрезе конструктивная схема сборного купола. В промежуточных узлах сопрягаются три конструктивных элемента: две конические оболочки вращения (сверху и снизу) и кольцо, образованное поперечными ребрами двух ярусов. В самих ребрах кольцевые изгибающие моменты невелики (поскольку малы размеры их поперечного сечения) и могут не учитываться.

Расчет промежуточных узлов целесообразно вести методом перемещений, поскольку число неизвестных величин при этом меньше.

На каждый узел накладываются две связи против перемещений: горизонтальных радиальных и меридиональных угловых (рис.2,б). В реальных конструкциях сборных куполов неизвестные усилия даже соседних узлов оказывают незначительное влияние друг на друга. Поэтому задача расчета купола сводится к расчету отдельных узлов. Впрочем, допустимость раздельного расчета узлов следует проверять каждый раз, вычисляя упругую характеристику жесткости конических ярусов оболочки. Если λ=l/s˃2 (l – длина образующей конуса, s – его упругая характеристика, определяемая по формуле:

можно взаимное влияние узлов не учитывать.

Рисунок 2. Составной конический купол из сборных плоских трапециевидных элементов (а – конструктивная схема; б – расчетная система; в – геометрические параметры конического яруса)

Крайние узлы (опорного и фонарного колец) могут рассчитываться также самостоятельно, в частности методом сил [2].

Если сборные элементы куполов имеют промежуточные ребра, то при расчете в кольцевом направлении следует пользоваться приведенной толщиной  оболочки, учитывающей площадь сечения промежуточных кольцевых ребер, а в меридиональном направлении – приведенной толщиной и приведенным моментом инерции на единицу длины кольцевого сечения оболочки с учетом всех меридиональных ребер и бетона в швах между ними.

Соответственно основной системе узла (рис.3) подлежат определению угол поворота Z₁ и радиальное смещение Z₂ узла, для чего составляются конические уравнения:

;

,

При единичном угловом перемещении Z₁=1 реакции в связях равны:

;

.

Где индексами «в» и «н» помечены величины, относящиеся соответственно к верхнему и нижнему конусам оболочки.

Величины в этих выражениях определим из рассмотрения конусной оболочки с граничными условиями: при φ=0 должно быть θ=dw/dx=1 w=0. Воспользовавшись этими условиями найдем значения постоянных С₁=2D/s и С₂=0. Имея в виду, что Q=Hsinφ_k, получим:

2D/s;

2D/(s²sin φ_k),

При единичном радиальном смещении Z₂=1 реакция в связи против горизонтального перемещения

Рисунок 3. К расчету промежуточного узла сборного купола при воздействии (а – единичного углового перемещения; б – единичного радиального перемещения; в – нагрузки )

Граничные условия конуса в этом случае: при φ=0 должно быть  ξ=- 1 и dw/dx=0. Имея в виду, что ξ=wsinφ_k, находим:

С₁= С₂=2D/(s²sin² φ_k),

На основании уравнения:

,

Учитывая, что Q= Hsinφ_k, имеем

4D/(s³sin² φ_k).

Реактивный распор кольца при единичном радиальном смещении, очевидно, равен:

,

- площадь поперечного сечения кольца.

Реакцию  не вычисляем, поскольку .

Свободные члены  в канонических уравнениях определяются следующим образом:

;

.

Определим контурные усилия на краях защемленного конуса при нагрузке от собственного веса g и снега p; угловые и радиальные перемещения купола при статически определимом его опирании, вызываемые нагрузкой, сопоставим с соответствующими перемещениями при контурных воздействиях на купол момента М₀ и распора Н₀.

Сравним радиальные перемещения от нагрузки и от краевого воздействия при φ=φ_k и φ_k=0, имея в виду что ξ= wsinφ_k:

Отсюда:

.

Сравним теперь угловые перемещения от нагрузки и от краевого воздействия, принимая в них φ=φ_k и φ=0:

Из этого выражения:

Учтем соотношения

тогда:

Принимая во внимание равенство, записываем выражение в виде

Где:  – равнодействующая всех вертикальных нагрузок, находящихся выше рассматриваемого уровня.

При Н₀=Q₀/  и  имеем:

Полученные   и 

Найдя из решения систему уравнения перемещения Z₁ и Z₂, вычисляем окончательные значения краевых моментов и распоров по формулам:

Подставляя в них поочередно значения для верхней и нижней конических оболочек.

Распор кольца: 

После раскрытия статической неопределимости узлов определяются меридиональные моменты и кольцевые усилия в конусах оболочки [3].

В составных конических куполах изгибающие моменты в меридиональном направлении охватывают всю область оболочки.