История возникновения операционного исчисления и вклад учёных в его развитие

Аннотация. В статье описывается история операционного исчисления и вклад ученых в его развитие.

Abstract. The article describes the history of operational calculus and the contribution of scientists to its development.

Различные отечественные и зарубежные ученые посвятили свою работу разработке теории и приложений операционного исчисления.

Истоки операционного исчисления берут свое начало от таких математиков и ученых, как Сервуа и Лейбниц, а позже их работы в этом направлении посвятили Буль, Мерфи, Грегори, Грейвс, Хергрив, Кейли, Кермикель и Джиллетт.

Английские математики использовали символические методы в дифференциальном и интегральном исчислении, в исчислении конечных разностей, в теории дифференциальных и разностных уравнений. В своих исследованиях они определили сущность законов Сервуа и более четко обосновали возможность использования различных символов. Сам символизм получил серьезное математическое определение, и его применение стало более стандартизированным. Изучены рациональные функции, целые числа, а также нецелые по соответствующей символике. Это позволило получить много разных формул.

В целях доказательства некоторых математических положений, такие великие математики, как Каке, Коши и Пикар пользовались операторами символьными преобразованиями.

Ученые Коши и Пикард разработали метод доказательства существования и единственности решения дифференциальных уравнений.

Значительное улучшение символического исчисления было введено Лиувиллем. А в середине XIX века появились математические труды, посвященные символическому или операционному исчислению. Их основной задачей была «алгебраизация» дифференциальных уравнений, а именно замена исходных дифференциальных уравнений на эквивалентные алгебраические по отношению к полученным результатам. Первыми в этой области стали работы профессора Киевского университета М.Е. Ващенко-Захарченко и один из основателей Московского математического общества А. В. Летникова.

К началу 20-го века появились работы английского ученого Оливера Хевисайда (1850–1925); они имели большой смысл для разработки операционного исчисления. Позднее в науке появляется неоднозначная фигура О. Хевисайда.

Английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик Хевисайд впервые применил комплексные числа для изучения электрических цепей, разработал метод преобразования Лапласа для решения дифференциальных уравнений, сформулировал уравнения Максвелла в терминах электрических и магнитных сил и потоков и независимо от других. Исследователи создали векторный анализ. Несмотря на то, что Хевисайд практически не нашел взаимопонимания с научным сообществом, его исследования открыли новую математику и математику. Он разработал теорию линий электропередачи в 1873 году.

В 1880-1887 годах Оливер Хевисайд разработал операционное исчисление, ввел обозначение для дифференциального оператора, а также метод решения дифференциальных уравнений путем сведения к обычным алгебраическим уравнениям, которые изначально вызывали сильное возмущение из-за отсутствия строгого объяснения. Цитата Оливера Хевисайда: “Математика есть наука экспериментальная, определения появляются последними”, что послужило ответом на критику за использование еще не определенных операторов.

Хевисайд изложил свои идеи более подробно во втором томе известного трехтомного эссе «Электромагнитная теория». Наиболее интересными вопросами для Хевисайда было распространение возмущений в длинных линиях с индуктивностью самих линий или без них, а также в линиях, заканчивающихся каким-либо импедансом. Именно этот вопрос он использовал для применения операционного исчисления. Простота его решения этих довольно сложных задач была просто потрясающей.

Они были выведены из нескольких новых идей работы, он сделал это так кратко и элегантно, что вы можете сделать много более точных математических методов. Имея достаточную сводку таких «операционных представлений» или изображений (согласно современной терминологии), каждый человек, знакомый с техникой метода, может без особых трудностей получить новые операционные отношения между более или менее сложными функциями.

Положения операционного исчисления были выведены Хевисайдом почти независимо от других математиков, о чем свидетельствует тот факт, что он мало ссылался на работу своих предшественников. Сначала он попытался опубликовать свои результаты в серии статей «Об операторах в физической математике». Одним из наиболее важных результатов Хевисайда является формула разложения.

Таким образом, Хэвисайд предложил формальные правила обращения с оператором  и некоторые функции этого оператора решили ряд важнейших задач электродинамики. Несмотря на это, операционное исчисление не получило математического обоснования в трудах Хевисайда, большинство из которых оставалось недоказанным. Дальнейшее развитие операционного исчисления было сосредоточено на обосновании рассуждений Хевисайда. И здесь трансформация была принята в качестве основной точки исчисления Лапласа.

Строгое обоснование операционного исчисления было дано с помощью интегрального преобразования Лапласа. Если эта функция преобразования , переходит в функцию  где  обозначается  то производная перейдет в функцию  и интеграл  . Таким образом, оператор дифференцирования p переходит к оператору умножения на переменную z, и интегрирование сводится к делению на z.

В начале 1920-х годов операционное исчисление снова стало ключом к изучению многих математиков. С 1916 года Бромвич работал в этом направлении. В это же время Карсон воплотил идею создать прочную математическую основу для операционного исчисления и показал, что операционные методы Хевисайда могут быть объяснены на основе преобразования Лапласа. Возникает идея полностью исключить любое значение «оператора» и вернуть в исчисление старое имя - «символическое исчисление», но между операционным исчислением и символическим исчислением первой половины XIX века существовала «дистанция огромного размера».

К концу XIX века теория символического исчисления начала терять свое развитие. Быстрый рост в процессе разработки технологий ставил конкретные задачи и ожидал их быстрого реагирования, инженерам требовались конкретные практические методы. Истоки операционного исчисления лежат в XVIII веке. Стоит отметить, что именно в XVIII веке математические символы, которые были обычными с точки зрения современных ученых, были значительно упрощены. Это, несомненно, катализатор первых неизвестных идей о возможности введения новой символики, применение которой могло бы упростить сложные математические операции.

Существенные внедрения внесли в обоснование операционного исчисления П. Леви и Джеффрис. Построение новой системы операционного исчисления на основе преобразования Лапласа снимает саму идею действия «оператора» на «оперируемое выражение», и, таким образом, как указывает Ван-дер-Поль, вновь появляется вместо «операционного исчисления» термин «символическое исчисление».

В 1930-е годы профессор А. М. Эфрос, сотрудник Математического института Харьковского университета, инженер-электрик (также работавший в этом институте), имевший А. М. Данилевского. За время своей работы Данилевский опубликовал ряд исследований, в частности, работу «О численном решении волнового уравнения». Член-корреспондент Эфос окончил Харьковский электротехнический институт, защитил кандидатскую диссертацию, также докторские диссертации и смог получить звание профессора. Его работа в основном относится к области операционного исчисления. Член-корреспондент Данилевский и А.М. Эфрос опубликовали свои обширные исследования в 1937 году «Операционное исчисление и контурные интегралы» по операционным методам. В своих работах ученые брали за основу исследования по операционному исчислению Хевисайда в той форме, которая была разработана Карсоном. В исследованиях под названием «Некоторые применения операционного исчисления к анализу» Эфрос значительно дополняет соотношения, полученные Карсоном, Ван дер Полем и другими исследователями. Для этого он использует различные методы и методы операционного исчисления. Он сводит эти методы к следующему:

• применение теоремы Бореля (обыкновенного и обобщенного);
• суммирование изображений и начальных функций;
• использование рядов изображений и строк исходных функций;
• дифференциация и интеграция символических отношений по определенному параметру;
• смешанные преобразования;
• вычисление интегралов путем введения параметров, которые символически преобразуются.