Интерпретация семейства золотых констант последовательностей a(n)=ka(n–1)-(n–2) в виде матриц новемологической таблицы

В век информационных технологий требуется запоминать огромное количество информации, которые требуют нового подхода запоминания. Одним из рациональных методов запоминания это применение новемологической таблицы в виде девятеричных группировок данных. Этими данными могут быть формулы, ключевые слова, термины, константы и т. д. Интегративная способность матриц новемологической таблицы предусматривает трансформацию равновесной со всех сторон базовой матрицы (магического квадрата) на одноуровневую сферическую поверхность вращения девяти частиц по форме двукратно-лепестковой восьмерки. По данной модели устроена фундаментальная динамика частиц ядра атома и заложена в основу работы квантового компьютера.

Базовая матрица новемологической таблицы на плоскости имеет вид:

Таблица 1.

Базовая матрица новемологической таблицы

Сумма элементов по строкам, столбцам и диагоналям составляет число 15. Данная матрица составлена по принципу вращения движения элементов без «столкновений»  на перекрестках. Если спроецировать данную матрицу в трехмерное пространство, то получится куб, в котором нижние элементы составят элементы первого уровня, элементы второй строки составят элементы второго уровня, и верхние элементы составят элементы третьего.

Запись натуральных чисел до 81 в виде новемологической таблицы, состоящая из девяти базовых матриц имеет вид (табл.2):  

 Таблица 2.

Новемологическая таблица из девяти базовых матриц

Найдем коэффициент изменения уровней к₁= 369:126=2,928571 как отношение суммы строк первого уровня к сумме строк второго уровня, к₂ = 612:369=1,65853 как отношение суммы строк второго уровня к сумме строк третьего уровня. Найдем  коэффициент изменения к₃= 69 : 42 = 1,6428  как отношение суммы строк третьей базовой матрицы  первого уровня к сумме строк второй базовой матрицы  первого уровня.

Для констант целочисленных последовательностей, члены которых заданы рекуррентными соотношениями a(n)=±ka(n–1)–(n–2), возможен вариант квадратных уравнений, которые имеют вид X²–kX+1=0, приводит к соотношению: X+1/X=k. Отсюда следует: 1/X = k – X. Число k является ближайшим к константе последовательности целым числом. Как видим, константы последовательностей обладают таким же свойством, что и золотая пропорция в четной степени – обратные значения констант в точности равны числу, дополняющему их до ближайшего целого числа. Например, последовательность, имеющяя рекуррентную формулу a(n)=10a(n–1)–a(n–2) при a(0)=2 и при a(1)=10 порождает последовательность вида: K(n) = 2, 10, 98, 970… В энциклопедии Нейла Слоэна она зарегистрирована под номером A087799 [1,2,3]. Золотые константы и их обратные значения для последовательностей, члены которых заданы рекуррентными соотношениями a(n)=ka(n–1) – (n–2), приведены в табл.3[1,2,3]. Найдены золотые константы х₃₀ по х₈₁ как корни уравнения х²-kх+1=0, при к= 30, 31,32…. 79, 80, 81 с помощью Excel. Таблицу золотых констант последовательностей вида  a(n)=ka(n–1)-(n–2)  перепишем по принципу новемологического распределения по 9-ти секторам, а именно по принципу «снизу-вверх», «слева-направо» (табл.3):

Таблица 3.

Новемологическая таблица золотых констант

Запишем данную таблицу по принципу новемологического распределения по 9-ти секторам и уровням (табл.4):

Таблица 4. 

Новемологическая таблица золотых констант по 9 секторам и уровням

Заметим, что:

Сумма строки первого уровня матриц составляет в среднем  сумма строки второго уровня матриц составляет в среднем  третьего уровня  Найдем коэффициент изменения  к₁= : =2,928571 как отношение  суммы строк первого уровня к  сумме строк второго уровня, к₂ =  :  =1,65994   как отношение суммы строк второго уровня к сумме строк третьего уровня. Следует иметь в виду интересное совпадение коэффициентов изменения новемологической таблицы натуральных чисел, состоящая из девяти базовых матриц изменения  к₁= 369:126=2,928571, к₂ = 612:369=1,65853  (табл.2). Найдем  коэффициент изменения к₃= 68,8668 : 41, 7736 = 1,6485  как отношение суммы строк третьей базовой матрицы  первого уровня к сумме строк второй базовой матрицы  первого уровня. Заметим, что такой же коэффициент к₃= 1,6485  получен в отношениях соответствующих матриц новемологической таблицы натуральных чисел. Данные коэффициенты выполняются во всех остальных базовых матрицах.

При записи таблицы золотых констант по принципу новемологического распределения по 9-ти секторам и уровням (табл.4) сумма строк составляет одинаковую сумму, в среднем  что показывает выполнение всех условий новемологического распределения. Данные коэффициенты выполняются во всех остальных базовых матрицах, что показывают выполнение  условий новемологического распределения. Интерпретация числовых инвариантов  последовательностей a(n)=ka(n–1)-(n–2)  в виде матриц новемологической таблицы  сохраняет все свойства новемологической записи.