Об основных понятиях теории игр

Теория игр – наука, которая изучает закономерности конфликтных ситуаций.

Конфликтной ситуацией называется ситуация, в которой интересы её участников либо прямо противоположны, либо не совпадают. Такая ситуация называется игрой, а её участники – игроками.

Под стратегией в теории игр понимается перечень конкретных указаний, который показывает, как конкретный игрок ведёт себя в любой ситуации, сложившейся в ходе игры.

Пример. Два игрока. Будем считать, что у каждого из игроков некоторые множества стратегий, так называемые пространствами стратегий  и . В течении конфликта 1-ый игрок выбирает некоторую стратегию , а 2-ой игрок, отвечая, выбирает некоторую стратегию . После чего игра считается сделанной. Чтобы играть, каждый из игроков должен анализировать выбор стратегии.

1-ый игрок: 

Предположим, что второй игрок будет применять против меня . Чем отвечать?  – множество стратегий сильных ответов на стратегии второго игрока.

2-ой игрок:

Предположим, что первый игрок будет применять против меня . Чем отвечать?  – множество стратегий сильных ответов на стратегии первого игрока.

Получаются два отображения:

.

Такие отображения, которые каждой точке одного множества сопоставляют некоторое подмножество другого множества, называют многозначными или мультиотображениями.

.

Эти многозначные отображения в теории игр называют игровыми правилами.

Антагонистической называют такую игру, где интересы участников прямо противоположны. Где выигрыш одного игрока прямо равняется проигрышу другого и наоборот.

Для того чтобы задать антагонистическую игру, используют следующее понятие. Пусть задана функция . Такая функция называется функцией игры, если она имеет следующий смысл: числовое значение  равно выигрышу первого игрока, если он применяет стратегию , а второй отвечает на неё . Выигрыш второго игрока .

Если мы возьмём суммарно выигрыш обоих игроков, то он равняется 0. Поэтому такие игры называются ещё играми с нулевой суммой.

Предположим,  – замкнутое ограниченное подмножество . . Функция  непрерывна. Множество  – наилучшие ответы на . Множество  должно состоять из , для которых  значение максимально для заданных .

Игровые правила:

,

.

Стратегии ,  равновесны, если они удовлетворяют следующей системе включений: 

Игры, в которых каждому из игроков доступно конечное множество стратегий удобно записывать в виде матрицы.

Пример. Два игрока кладут на стол монету вверх гербом или цифрой. Если игроки выбрали одинаковые стороны, то 1-ый игрок забирает обе монеты, иначе их забирает 2-ой игрок.

Матрица данной игры будет выглядеть так: 

Правила игры: 

,

,

.