РАСЧЁТ ВОЗРАСТАНИЯ ДЕНЕЖНОЙ СУММЫ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Многие люди, так или иначе, хоть раз в жизни задавались вопросом о том, зачем им нужна математика. Кто-то из любопытства, кто-то пытался оправдать нежелание учить высшую математику, а кого-то ставит в недоумение уже сам факт того, что эта дисциплина входит в обязательную программу университетов и школ.

Современные студенты, даже обучающиеся в экономических ВУЗах, нередко спрашивают себя: «Для чего мне, человеку, будущая профессия которого будет связана в лучшем случае с применением самых элементарных математических расчетов, уметь производить все эти длинные и сложные вычисления, знать все эти математические методы?»

Да, для кого-то непросто будет проследить связь между математикой и другими социальными науками, и в особенности с экономикой. Что касается первых, то, в основном, математика играет здесь свою немаловажную роль в форме подсобной науки — математической статистики.

А вот в экономике математика используется не так уж и давно. Если быть точнее — с 1738 года, после создания и опубликования ученым Франсуа Кенэ первых экономических таблиц. Стоит также отметить, что математический аппарат широко использовал даже сам Карл Маркс (в моделях простого и расширенного воспроизводства и денежного обращения). А вот сама математическая школа политической экономии возникла аж спустя век — в 1838 году. Представителями этой школы были такие известные экономисты, как Леон Вальрас, Вильфредо Парето и Альфред Маршалл. Они впервые предприняли попытку использовать математический аппарат в исследовании механизма функционирования рынка.

Но не нужно думать, что математика применялась только экономистами, стоявшими у истоков. Даже наоборот. Сейчас взаимодействие математики и экономики за рубежом стало абсолютно обычным явлением. С использованием математического аппарата в экономике связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии (Джон Хикс, Роберт Солоу, Василий Леонтьев, Пол Самуэльсон и др.).

В настоящее время развитие макро- и микроэкономики, прикладных экономических дисциплин связано с более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики: математического программирования, теории игр, математической статистики, теории массового обслуживания и др., — а также прогресс в области информационных технологий, позволивших обрабатывать, хранить и передавать значительные массивы исходной информации (без этого внедрение математики в хозяйственную практику было бы невозможным).

В своей научной работе хотелось бы продемонстрировать реальную ценность этого важного предмета как для людей, получающих высшее образование по направлению «Экономика», так и для вообще всех интересующихся. В частности, рассмотреть ее на примере такой важной его части, как дифференциальные уравнения.

Но прежде чем перейти непосредственно к цифрам, формулам и вычислениям, стоит немного ознакомимся с теоретическими положениями этого информационного блока.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную «X», функцию этой переменной «Y» и ее производную.

Под решением же дифференциального уравнения (его еще называют интегралом) понимается функция, зависящая от «X» и произвольных постоянных, которая обращает уравнение в тождество и из которого получаются все решения уравнения при конкретно заданных постоянных.

Осталось ввести термин «Порядок дифференциального уравнения». Это порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Теперь можно приступить непосредственно к практическим примерам. Для большей наглядности возьмем не просто гипотетические, а реальные экономические задачи, которые встают перед людьми. Причем на разных уровнях — и микроэкономическом, и макроэкономическом. Иллюстрацией первого будет служить подсчет суммы, которая будет на счету человека, разместившего вклад в банке. А второго — демонстрация прямой взаимосвязи между государственным доходом и государственным долгом и вычисление общей суммы последнего.

Задача 1.

Рассмотрим процесс возрастания денежной суммы, положенной в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Под сложными процентами понимаются проценты, насчитываемые не только на первоначальную величину, но и на проценты, уже наращенные на неё за предыдущий срок. Этот момент очень важно учитывать при расчёте сумм с учетом капитализации. Пусть Y₀ обозначает начальную денежную сумму, а Y_x — денежную сумму по истечении x лет. Если бы проценты начислялись один раз в год, мы бы имели

_,

где x = 0, 1, 2, 3,... Вообще, если проценты начисляются n раз в год и x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда

То есть,                                   

Если мы обозначим , то предыдущее равенство будет записываться следующим образом:

То есть при изменении x закон возрастания выражен дифференциальным уравнением 1-го порядка. Для последующего решения перепишем уравнение следующим образом:

Откуда .

Учитывая, что Y(0) = Y_, то можно найти W: Y₀=We⁰, откуда следует, что Y₀=W, а значит и конечная формула имеет вид:

Рассмотрим практическое применение данной формулы на конкретном примере:

Возьмем усредненную сумму вклада в размере 100 000 рублей и рассчитаем, какое количество денег будет на счету вкладчика через два года. На данный момент разбег процентов по вкладам, предоставляемым коммерческими банками на территории России составляет от 8 до 11 процентов. Допустим, что ставка по нашему вкладу составляет 11 %. Тогда при подстановке в выведенную формулу получаем:

Т. е. за 2 года сумма была увеличена на 24 600 руб.

Задача 2.

Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:

И пусть, кроме того, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y (при коэффициенте пропорциональности q ). Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:

Проинтегрируем функцию относительно времени, за которое национальный доход возрастает и получим:

По основному свойству логарифмов мы получаем формулу вида:

Здесь мы считаем переменные Y и D непрерывными и дифференцируемыми функциями времени t.

при t = 0, Y₀=e^C и функция имеет следующий вид:

Подставляя Y во второе уравнение, получаем:

при t = 0,

то есть, национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k, что и национальный доход.

Список литературы:

1. Дифференциальные уравнения. Математика. Портал естественных наук. — [Электронный ресурс] — Режим доступа — URL: http://e-science.ru/math/theory/?t=599 (дата обращения 30.11.2013)
2. Математика для экономистов. Задачник. Учебно-практическое пособие. / Под ред. Макаров С.И., Мищенко М.В. — М-Кнорус, 2008. — 360 с.
3. Математические модели финансовых операций. Учебное пособие. / Под ред. С.И. Макаров, Б.П. Чупрынов — Самара, изд-во СГЭА 2005. — 136 с.
4. Репин О.А., Уфимцева Л.И., Экономические задачи в общем курсе высшей математики. Методическая разработка для студентов 1 курса. — Куйбышев, 1984. — 24 с.