ИССЛЕДОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ И ФОНДООТДАЧИ НА ОСНОВЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Производственной функцией называется зависимость выпуска производства y от затрат производственных ресурсов x₁, x₂, …, x_n

Чаще всего производственная функция является показательно-степенной функцией вида  0 < a₁, a₂ < 1, которая называется функцией Кобба-Дугласа, где y — объем производства, x₁ — затраты труда (рабочей силы) и x_{2 —} основные производственные фонды.

Эффективностью труда называется средний по труду продукт, и она равна

Предельной производительностью труда называется выражение

Она показывает число дополнительных единиц продукции при дополнительно затраченной единицы труда.

Эластичность выпуска по затратам труда равна

Производственная функция является математической моделью выпуска продукции и для экономического анализа этой функции применяются методы математического анализа.

Из наиболее распространенных производственных функций является функция Кобба-Дугласа: Y = AK^aL^β , где A, α, β > 0 — константы, где α + β < 1; К — объем основных производственных фондов; L — объем трудовых ресурсов, т Y — выпуск продукции. Легко проверить, что выполняются требования к производственным функциям. ∂Y/∂K = AαK^α-1L^β > 0, ∂Y/∂L = AβK^αL^β-1 > 0.

Вторые производные производственной функции: ∂Y²/∂K² = Aα(α—1)K^α-2 L^β < 0, ∂Y²/∂L² = Aβ(β—1)K^αL^β-2 > 0.Отсюда следует убывание предельных продуктов.

Для производственной функции Кобба-Дугласа средняя производительность труда y = Y/L =AK^αL^β−1, и так как β < 1,то она убывает.

Предельная производительность труда ∂Y/∂L = AβK^αL^β-1 > 0,следовательно, для функции Кобба-Дугласа предельная производительность труда пропорциональна средней производительности и меньше ее. Точно также устанавливается зависимость между средней и предельной фондоотдачей — предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче и меньше ее.

Эластичность продукции по труду:

(∂Y/∂L):(Y/L) = (∂Y/∂L)L/Y = AβK^αL^β-1 L/(AK^αL^β) = β.

Эластичность продукции по труду показывает, объем трудовых ресурсов увеличить на β %, то выпуск продукции увеличится на 1 %. Аналогично, рассматривается экономический смысл параметра α (эластичности продукции по фондам).

На практике чаще всего рассматривается функция Кобба-Дугласа и при ее составлении иногда отказываются от некоторых условий .

Аналогично средней и предельной производительности труда вводится понятие фондоотдачи, которая характеризует эффективность использования основных фондов. Она рассчитывается как отношение объема выпуска продукции за единицу времени к полной стоимости основных производственных фондов.

Наилучшее использование основных производственных фондов нужно для увеличения выпуска общественного продукта и увеличения национального дохода.

Экономический эффект повышения использования основных фондов состоит в росте общественной производительности труда.

Фондоотдача показывает количество продукции (или прибыли) получаемой с каждого рубля основных производственных фондов.

Для повышения эффективности производства, важно, чтобы был обеспечен опережающий рост производства продукции по сравнению с ростом основных производственных фондов.

Рассмотрим составление производственной функции и ее изменение в зависимости от изменения переменных.

Допустим производство предприятия описывается функцией Кобба-Дугласа. Если один рабочий производит в единицу времени продукции на 100 тыс. р. Численность рабочих — 10 000 чел. Основные производственные фонды в денежном выражении оцениваются в 1 млрд. руб. Известно, при увеличении выпуска продукции на 6 % необходимо увеличить или стоимость основных фондов на 9 %, или число рабочих на 12 %. Функцию Кобба-Дугласа запишем в виде y=α₀x₁^α₁x₂^α_2, где х₁ — затраченный труд; х₂ — капитал.

Найдем коэффициенты эластичности. Из условий х₁=10 000 чел., х₂=10⁹ руб., находим объем продукции в стоимостном выражении у=х₁×100 000=10⁹ (руб.)

Применив логарифмическое дифференцирование, получим

Δу/у=α₁Δх₁/х₁ +α₂Δх₂/х₂,

где:   Δу/у — изменение объема продукции;

Δх₁/х₁ — изменение трудовых ресурсов;

Δх₂/х₂ — изменение основных производственных фондов .

Известно Δу/у = 6 %, при этом, либо Δх₂/х₂ = 9 %, Δх₁/х₁ =0, либо, либо Δх₁/х₁ = 12 % , Δх₂/х₂ =0, то есть имеем два равенства 0,06=α₁×0+α₂×0,09; 0,06=α₁×0,12+α₂×0. Из этих уравнений находим α₁=1/2; α₂=2/3.

Подставляя полученные значения, получим у=α₀х₁^1/2х₂^2/3

Отсюда α₀=у/х₁^1/2х₂^2/3=10⁹/=10 000.

Итак, у=10 000х₁^1/2х₂^2/3. средняя производительность труда равна у/х₁=10⁹/10⁴=10⁵; предельная производительность труда — P=α₁ =×10⁵=50 000.

Аналогично, определяем среднюю и предельную фондоотдачу:

=10⁹/10⁹=1; P=α₂=×1=

Исследуем изменение производственной функции у=3,2х₁^0,4х₂^0,6, где у — объем товарной продукции в стоимостном выражении, х₁ — фонд заработной платы, х₂ — стоимость основных фондов в зависимости от фонда заработной платы и основных производственных фондов. Допустим, произошло изменение используемых ресурсов: фонд заработной платы уменьшился на 6 %, а стоимость основных фондов возросла на 4 %. На сколько процентов при этом изменятся:

1.  объем выпускаемой продукции,

2.  производительность труда,

3.  фондоотдача.

Для решения задачи применим метод логарифмического дифференцирования.  = +0,4+0,6.,

Тогда

Величины , , выражают относительные приращения величин х₁ и х_2, они соответственно равны –0,06 и 0,04. Тогда изменение объема товарной продукции  0,4×(–0,06) + 0,6×0,04=0,024 — 0,024=0.

Следовательно, объем товарной продукции не изменился. Производительность труда определяется равенством A==3,2х₁^-0,6х₂^0,6.

Логарифмируя это равенство, получим =- 0,6+0,6;

0,6 – 0,6 =0,60,04–0,6×(–0,06)=0,024+0,036=0,06.

Таким образом, производительность труда выросла на 6 %.

Фондоотдача выражается формулой А==3,2х₁^0,4х₂^-0,4.

Логарифмируя это равенство, получим =+0,4-0,4,

0,4 - 0,4 =0,4(-0,06)-0,4×0,04=-0,04.

Следовательно, фондоотдача снизилась на 4%

Список литературы:

1. Уфимцева Л.И. Черкасова Т.Н. Математические модели некоторых стандартных задач в управлении предприятиями. Проблемы совершенствования организации производства и управления промышленными предприятиями. Межвузовский сборник научных трудов: выпуск 1, часть 2 Самара: изд-во СГЭУ, 2008 — 205—208 с.
2. Экономико-математические методы и модели: Задачник учебно-практическое пособие под редакцией С.И. Макарова, С.А. Севастьяновой — М: Кнорус, 2009 — 208 с