Показательные неравенства в курсе математики средней школы и методы их решений

Аннотация. В статье рассмотрены простейшие показательные неравенства в курсе математики средней школы и методы их решений. Продемонстрированы примеры применения данных методов так, чтобы все участники образовательного процесса смогли понять и применить их в практической деятельности.

Ключевые слова: математика, простейшие показательные неравенства, методы решения показательных неравенств.

Введение. В школьном курсе математики большое внимание уделяется решению неравенств различных типов, в том числе показательных. Обучающиеся знакомятся с показательными неравенствами в старших классах после изучения свойств показательной функции. Задания по теме «Показательные неравенства» включены в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ по математике как базового, так и профильного уровня.  При решении показательных неравенств учащиеся часто допускают ошибки, многие из которых объясняются: неверным выбором метода решения, выполнением преобразования, приводящего к неравенству, не равносильному исходному; решением другого неравенства, полученного из исходного неравенства с помощью некоторой замены переменной. При этом исходное неравенство осталось не решенным.

Соответствующие умения, позволяющие не допустить ошибки в решении неравенства, формируются на уроках математики при выполнении большего количества разнообразных упражнений.

Простейшие показательные неравенства

Данные показательные неравенства представлены в курсе алгебры средней школы. Рассмотрим их решения.

Пусть a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда неравенства  и называют простейшими показательными неравенствами.

Например, неравенства , ,  являются простейшими показательными неравенствами.

Поскольку  для любого действительного числа x₀, то при  неравенство  справедливо для любого действительного числа x₀, но нет ни одного действительного числа x₀, для которого было бы справедливо числовое неравенство  или числовое равенство .

Таким образом, если , то множество всех решений неравенства  есть интервал , а неравенство  решений не имеет.

Если же , то неравенства   и   можно переписать в виде  и , где .

Рассмотрим решение неравенств  и  сначала при . Так как для такого a функция является возрастающей, то для любого числа справедливо числовое неравенство , а для любого числа  справедливо числовое неравенство . Кроме того, равенство справедливо лишь при .

Следовательно, при  и  множество всех решений неравенства  есть интервал , а множество всех решений неравенства  есть интервал , где .

Пусть теперь . Так как, для такого a функция  является убывающей, то для любого числасправедливо числовое неравенство  , а для любого числа  справедливо числовое неравенство . Кроме того, равенство , справедливо лишь при .

Таким образом, при  и  множество всех решений неравенства  есть интервал , а множество всех решений  неравенства  есть интервал , где . Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решите неравенство 

Решение. Пользуясь тем что , преобразуем наше неравенство 

Так как основание , то функция  является возрастающей. Поэтому решением неравенства, является множество решений .

Ответ: .

Пример 2. Решите неравенство 

Решение. Чтобы решить неравенство нам нужно уравнять основания, для этого представим 5, как . После преобразования получим 

Так как , то функция  является убывающей. Поэтому решением данного неравенства является , т.е. мы поменяли знак на противоположный.

Ответ: .

Пример 3. Решите неравенство 

Решение. Так как ,  то наше неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Метод введения вспомогательной переменной

С помощью подстановки  неравенство приводится к квадратному неравенству относительно переменной t, либо к другому простейшему неравенству относительно переменной t, изначально решаем относительно переменной t, а затем ищем значение исходной переменной x. Рассмотрим примеры.

Пример 4. Решите неравенство 

Решение. Вводим новую переменную  отсюда наше неравенство примет вид  .

Решив простейшее показательное неравенство получим решение 

Мы решили неравенство относительно переменной t, а нам нужно решить относительно исходной переменной x, для этого поставим  в наше неравенство , и получим неравенство 

Решим данное квадратное неравенство, получаем ответ , оно и будет являться решением исходного показательного неравенства.

Ответ: 

Обычно данные показательные неравенства решаются путем равносильного перехода, но для наглядности детям можно продемонстрировать этот метод.

Метод решения, основанный на разложении на множители

Для детального разбора этого метода необходимо вспомнить все способы разложения на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобку. Если все члены многочлена имеют общий множитель, то, вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители.

2. Формулы сокращенного умножения. Иногда многочлен можно разложить на множители используя формулы сокращенного умножения.

3. Способ группировки. Этот способ применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения общего множителя за скобки. Суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене и дальнейшего объединения в группы таким образом, чтобы после вынесения общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющиеся в свою очередь общим множителем для каждой группы.

4. Метод выделения полного квадрата. Иногда многочлен можно разложить на множители, если воспользоваться сначала методом полного квадрата, а затем, как правило, формулой разности квадратов.

Данные способы хорошо знакомы учащимся из курса математики, поэтому подробно остановимся только на вынесении общего множителя за скобку.

Пример 5. Решите неравенство 

Решение. Преобразуем неравенство: 

Преобразуем, применив свойство степени: 

Выносим общий множитель за скобку: 

Выносим общий множитель 23 за скобку: 

Домножим неравенство на , знак неравенства не меняем: 

Разделим левую и праву части неравенства на , всегда больше 0, знак неравенства не меняем: 

Пользуясь свойством степени, представим 1 как : 

Решаем, как простейшее показательное неравенство. Так как основание у нас  меньше 1, то знак неравенства меняем на противоположный: 

Ответ.

Смысл данного способа в том, чтобы рационально применить тот или иной способ разложения на множители и привести показательное неравенство к простейшему.

Неравенства, левая часть которых имеет вид  решаются при помощи деления обеих частей неравенства на .

Пример 6. Решите неравенство .

Решение. Преобразуем исходное неравенство: 

Домножим левую и правую части на , получим: 

Пользуясь свойством степени: 

После несложных преобразований получаем: 

Приводим неравенство к простейшему, так как , : 

Ответ .

Обобщенный метод интервалов

Пример 7. Решите неравенство 

Решение. Для того чтобы решить данное неравенство, необходимо найти нули функции, для этого приравняем оба множителя к нулю ,  .

Решив линейное уравнение , получаем . Чтобы найти нуль множителя , решим простейшее показательное уравнение , получим .

Решим исходное неравенство методом интервалов: .

Искомое решение располагается в промежутке .

Ответ:.

Заключение

Таким образом, наглядно показано, что при изучении методов решений показательных неравенств, необходимо ответственно отнестись к пониманию каждого из них. Так как, там, где подойдет один метод, другой будет неуместен.

Важно выработать у обучающихся навык применения нужного метода при решении показательных неравенств. Изученная проблема является весьма актуальной, так как с каждым годом задания с показательными неравенствами становятся все сложнее. Изучая в школе все приведенные методы, учащиеся повышают свой уровень знаний в данной области.